本文研究了由一般度量空间\(\Theta \)索引的随机过程路径的连续性模，其值在一般度量空间\({{\mathcal {X}}}}\)中。如果度量空间\({{\mathcal {X}}}\)完备，则在经典Kolmogorov-Chentsov定理的增量上采用矩条件，得到的关于连续模的结果允许H?lder-continuous修改。这个结果是普遍的，因为它的适用性只取决于空间的几何形状。特别地，当\(\ θ \)是欧几里德空间的有界子集或连通黎曼流形的相对紧的子集时，它总是适用的。推导是基于talagra开发的精细链技术。根据主要结果，给出了保证具有连续路径的随机过程均匀紧密性的准则。将此方法应用于banach值随机过程的中心极限定理的求解。

假设是一个完全有界的度量空间。对于子集，w.r.t.的直径将表示为，而表示以中心为半径的封闭公制球覆盖的最小数量。我们经常需要以下关于几何的假设:

（1)

更进一步，设为度量空间。通过，我们表示Borel -代数。设是某概率空间上的一个有值随机过程，即，对于所有，是中的一个随机元素。在“Kolmogorov-Chentsov型定理”下，我们理解了一个定理，在距离的适当矩条件下，产生连续或H?lder-continuous修正的存在性(参见[4])。我们建立了以下一般结果。

假设(1)和

(2）

设和(t来自(1))是这样的

（3)

那么，对于任意，存在一个有限常数，它依赖于且仅满足，对于每一个最多可数的子集，

（4）

特别地，如果是完备的，则随机过程有一个满足(2)的修改，使得它的所有路径都是所有阶的H?lder-continuous。

当是可分度量空间时，技术假设(2)总是满足的，因为在这种情况下，。一般来说，我们只有包含，并且需要假设来确保的可测量性。

我们将定理1.1视为主要的“构建块”。在文献中，Kolmogorov-Chentsov型定理有时以定域形式表述。第2节给出了定理1.1的一个局部版本，其中定理1.1不一定是完全有界的。

参数空间几何的关键假设是(1)，其中t的值很重要，正如我们在(3)中需要的那样。我们注意到，如果是与欧几里得度量的有界子集，那么(1)总是满足，更一般地说，m维连通黎曼流形的相对紧的子集总是满足(1)与(我们在第3节提供更多细节)。

在经典的Kolmogorov-Chentsov定理的表述中，假设它是一个Banach空间，并且对于某些(参见[22，定理I.2.1])，并且证明依赖于在[0,1]中并矢有理是稠密的这一事实。从那时起，出现了许多其他版本的柯尔莫哥洛夫-陈索夫定理，基本上允许处理更一般的集合。我们提到[19，定理2.1]，[6，定理3.9]，[10，引理2.19]，[12，命题3.9]几个最近的公式，其中是的子集。某些版本的Kolmogorov-Chentsov定理只保证a.s。(即，不声明该量的p次幂的期望是有限的)。然而，一些应用，如第4节和第5节中讨论的应用，要求期望是有限的。另一个这类的例子，我们提到[2]里定理6.1的证明，如果没有这种期望的有限性，就不能成立(见[2]里公式(106))。

在前面的引用中，是一个Banach空间的封闭子集，并且假设所有的都在(with p from(3))中，并且证明涉及到Banach值H?lder-continuous映射的某个扩展结果。该扩展结果允许从矩形区域传递到一般子集。在我们的情况下，当只是一个度量空间，我们不假设对所有和一些(或类似的)这样的证明方法不能工作，所以我们使用本质上不同的思想来证明定理1.1。

在[21，定理2.9]中使用的另一种方法(也见[17，推论4.3])值得一提。在该参考文献中，在另一种假设下证明了局部H?lder-continuous修正的存在性。特别地，我们假设它是一个可分离的度量空间。后者是与(1)在几何上的不同类型的要求，它允许在更一般的情况下继续讨论最初为矩形区域阐述的论点。[21]中的设置与我们的设置有很大的不同，方法之间的关系还有待研究。然而，请注意，在有限维的情况下，另一种方法对可能集施加了一些限制(参见[21，定理4.1])，而我们的方法允许任意集(参见命题2.1和注释3)。

因此，我们总结前面的讨论，注意到我们得到不等式(4)，本质上，只有在要求(1)下，在度量空间的几何上，它是满足(with)的有界子集并允许超越的。同样值得注意的是，(4)的右侧对于所有可数子集都是相同的，并且(4)是在不完全情况下(因此可能不存在连续修改)表述结果的正确方法。

为了讨论定理1.1的应用，我们立即表述如下

设(1)，(2)，(3)，设(p, q来自(3)，t来自(1))，设满足(4)的任意常数。则，对于每一个最多可数的任意子集，

（5）

请注意，与定理1.1一样，不等式(5)普遍成立，即独立于满足(2)和(3)的随机过程。这将在分析-值随机过程的弱收敛性时变得有用(参见第4节和第5节)。

下面的辅助结果提供了证明定理1.1的关键步骤。它本身就很有趣。

设(1)、(2)、(3)为直径为1的有限子集。然后，对于任何，

在这种情况下，[23]中的定理B.2.4提供了类似引理1.3的结果。为了证明，这里使用了一种精细的链式技术，我们将采用它来推导引理1.3。

本文的结构如下。在第2节中，我们讨论定理1.1的一个局部化版本，它不一定是完全有界的。作为一个例子，在第3节中我们明确地处理黎曼流形的子集的情况。在第4节和第5节中，我们给出了定理1.1在banach值过程弱收敛中的一些应用。第6节证明了引理1.3和定理1.1。

由于在这种情况下的文献有时表述无界的Kolmogorov-Chentsov型定理(通过对定理1.1类型的结果进行局部化)，我们现在表述和讨论不一定完全有界的度量空间的定理1.1的局部化版本。

设置如下。让一个度量空间满足

性质(P)存在一个完全有界开子集的递增序列，，

(6）

设是一个完备度量空间，在某上是一个值随机过程。

假设性质(P)，这个过程满足(2)并且，对于所有的，存在并且(如性质(P)中)这样的

（7）

那么，随机过程有一个满足(2)的修改，使得它的所有路径在局部都是所有阶的H?lder-continuous，其中表达式“阶为0的H?lder-continuous”被理解为“一致连续”。此外，由于，在这样的附近有一些开放的。

（8）

注意,任何满足属性(P)。我们可以takeFootnote 3,,而常数实际上取决于n。因此,在命题2.1包括一个任意子集,例如,以下声明:有一个本地Holder-continuous修改所有订单时(7)持有,而不是取决于n(相反,和可以依赖于n)。此外,在这种情况下,对于任何,等附近存在一个开放(8)持有。

虽然命题2.1通过标准论证从定理1.1推导而来，但我们给出了一个证明，使论文自含。

修复任何。性质(P)的集合是完全有界的。因此，我们可以找到直径小于的开子集

在哪里。由式(7)，我们可以将定理1.1应用于每一个。因此，每个都有一个满足(2)的修改，使得它的所有路径都是H?lder-continuous on的所有阶

如果是这样，那么过程和过程是不可区分的，因为它们都是连续的，相互修改并且是可分离的(因为完全有界)。使用这一点，可以很容易地构造一个满足(2)的修改，使得它的所有路径都是H?lder-continuous的所有阶

（9）

对所有和。

现在我们变了。回想一下。因为和是彼此的修改，既连续又可分离，那么和是不可区分的。因此，存在这样一种情况，即对所有和都成立。我们用公式来定义这个过程

其中和是任意的。这是它的一个修正，满足(2)，它的所有路径都是H?lder-continuous，从每个，，的区间开始的所有阶数。回顾性质(P)，每个点都是开放的，我们得到每个点属于(对于某些和)的某个开放子集。特别地，的所有路径在局部都是所有阶的H?lder-continuous，而命题2.1的最后一个陈述由(9)引出。

在本节中，我们讨论定理1.1和命题2.1在当是m维连通黎曼流形m的子集的情况下的适用性，更准确地说，我们将在这种情况下理解限制条件(1)和性质(P)。基本上，结果是:

• 每一个相对紧致满足(1)与(命题3.1);

• 每个都满足性质(P)与，(推论3.2)。

对于微分几何的基本概念和结果，我们参考标准教科书，如[7,8,14]和[16]。

设(M, g)是定义在[8]中的任意连通的M维黎曼流形。这意味着M表示一个具有黎曼度量g的M维流形。根据定义，g是一个映射，它与切空间p上的每个点相关联一个内积，使得对于M的开放子集g上的-向量场，该映射

是可微的。更进一步，令对于p, q用M中所有-曲线将p连接到q的集合表示。在闭区间上定义的曲线的长度L(c)

其中表示c在t处的速度。由于M是连通的，所以集合总是非空的(参见[8,p. 146])，并且映射

是M上的一个度规(参见[8，命题7.2.5])，有时称为内度规(由g诱导)。此外，该度规诱导的拓扑与M上的原始拓扑一致(参见[8，命题7.2.6])。

(1)设m的任意一个相对紧子集，则存在一个紧子集，且

其中表示欧几里得度规。因此，满足条件(1)与wrt度规。

(ii)如果是完备的，则M的每一个有界子集都满足(1)，其度量为w.r.t.。

每个都满足性质(P)与，w.r.t.度规。

由于M是一个-流形，我们可以找到M的一个开放覆盖，它由M的相对紧的子集组成，满足(参见，例如[7，(16.1.4)])。根据命题3.1，这个子集序列用for满足(6)w.r.t.(并且这些常数确实依赖于n)。因此，每一个都用，，w.r.t.满足性质(P)，我们可以选择。

在本节的其余部分，我们证明命题3.1。这个证明是基于几个辅助结果。

设为M的一个非空紧子集，其中G是M的一个开放子集，允许一个图满足它是凸的。然后，有一些这样的

让我们站在标准的基础上。对于的开子集上的任意映射，我们将用符号来表示h的微分。

我们引入p的某开邻域上所有实值映射的集合。根据定义，M在p处的切空间由上的实值映射组成。图表u提供了以下依据

(见[8，第8页])。此外,

定义某个向量场(参见[8,pp. 25f])。

接下来，我们用at x的微分来表示它是一个线性映射

由于是上的内积，我们可以观察到任何

然后，用欧几里得球表示，我们可以从黎曼度规g的定义性质得出映射

是连续的，有严格的正结果。并且，它的定义域是的紧子集，使得它的最大值为正数。

现在，随它去吧。由于假定是凸的，映射

是满足的-曲线。然后，根据链式法则

由于是上的内积并且对每一个都是线性的，我们得到

其中表示欧几里得范数on。因此，根据内度规的定义，我们得到

由于不依赖于p, q，我们现在很容易推出引理3.3的主张。

在下一步中，我们首先利用引理3.3证明命题3.1对于M的紧子集的结果。

让它是非空且紧致的。则存在和的非空紧子集，使得

对于任意，我们可以找到一个图，定义在M的开放子集上，以及一些这样的和

设置和，我们观察到是的开放覆盖，因为是的开放子集。因此，通过紧性，存在这样的存在

去哪里?对于任意的集合满足引理3.3的要求。因此，我们可以发现这样的

一组

是的紧子集。然后，设置，我们最终得到

这就完成了证明。

最后，我们准备证明命题3.1。

(i)设为m的非空相对紧子集，拓扑闭包是紧的，并且对每一个都成立。因此，第一个命题直接从引理3.4推导出来。

(ii)如果是完备的，则根据Hopf-Rinow定理(例如，参见[8，定理7.2.8])，M的每一个无界子集已经是相对紧的。因此，第二个主张从第一个主张开始。

设一个紧化度量空间和一个完备度量空间。我们用具有一致度规的所有连续映射的空间来表示度规和引生的Borel -代数。

我们将要介绍的一些结果在可分离的情况下是简化的(因此是波兰语，因为它是完整的)。对于下面的一些讨论，我们回顾一下，紧实是可分的当且仅当是可分的(参见[1，引理3.99])。然而，我们在这一点上强调，我们从来没有假设(同等地)是可分离的。

让我们在某个概率空间上固定任意Borel随机元素序列。我们展示了推论1.2如何导致均匀紧密性的充分条件。

用常数满足性质(1)让我们紧密联系在一起。假设这是一个均匀紧密的随机元素序列，对于所有，并且存在并且这样的存在

（10）

则，是中的Borel随机元素的一致紧序列。

我们记得(1)不需要假定它是赋于欧几里得度规的紧子集。在这种情况下，只需要求(10)(见备注2)。

注意，所有过程都满足(2)，因为在本节和投影图中假设它们是Borel随机元素

是连续的。

注意，如果是可分离的，那么语句

(A)为Borel随机元素，即中的随机元素;和

(B)是一个有值过程(即，对于所有，是一个随机元素)，连续路径是等价的(见[15，引理14.1])。因此，无论何时是波兰空间，在命题4.1(以及后面的内容)中，我们本质上处理连续值过程的序列。一般来说，当(A)和(B)不再重合时，正确的选择总是(A)，即总是考虑Borel随机元素In，因为在命题4.1中讨论的紧密性概念(In)需要Borel -代数(In)。

我们取一个任意的。的紧性，证明存在一个最多可数的稠密子集。推论1.2加上过程的连续性，对所有人和

利用马尔可夫不等式，我们得出，对于每一个，

现在定理A.1中提出的一致紧密性的判据应用并完成了证明。

我们看到，本质上同样的条件，在定理一和命题一中所达到的目的是完全不同的。在定理1.1中，条件(3)保证了过程X的连续修改存在(当完成时，这在第4节中被假设)，而在命题4.1中，条件(10)暗示了序列的一致紧性。(注意，(10)就是(3)对于n中所有的一致都是必需的。)因此，试图把这些过程的连续性转移到命题4.1的结论中是很有诱惑力的。事实上，这很容易从上面的讨论中得出，尽管代价是要求可分离。

假设它是可分离的。用常数满足性质(1)我们考虑一个值过程序列。让我们紧密联系在一起。假设是随机元素的一致紧序列，对于所有，并且存在并且使得

(11)

然后，每个过程都允许有一个连续路径的修改，过程中是Borel随机元素，并且序列是均匀紧密的。

定理1.1保证了连续修正的存在性，。由于(A)和(B)是可分离的，因此，由于(A)和(B)在注释5中的等价，每个都是中的Borel随机元素。这个序列的一致紧密性现在是从命题4.1开始的。

如果在推论4.2中我们额外要求每个过程是可分离的(定义将在下面回顾)，那么我们得到每个过程本身几乎肯定是连续的，因此我们得到序列本身的均匀紧密性。这是引理4.3的引理。因为当这句话有用时，我们注意到，在某些情况下，我们给出了先验可分离的过程(例如，在这种情况下，càdlàg值过程)。

前面的话还有待证明。回想一下，如果存在一个最多可数的密集子集，并且存在一个事件，使得对于的每一个开子集，以及以下等式的任何闭子集都成立，则在某些上的-值过程称为可分离的

(见[9])。

设为可分离值过程，允许连续修改。那么，它本身几乎肯定是连续的，因此存在一个与Y过程难以区分的过程，使得它所有的路径都是连续的。

值得注意的是，与第4节的一般设置相反，对于这个引理，度量空间不需要是完整的。

设为Y的连续修改，即，对于所有的路径都是连续的。由于Y是可分的，我们可以找到一个在引理4.3中描述的最多可数的稠密。定义

观察一下。这足以说明和成立。我们来修复和。

对于集合，令表示集合的闭包。Y的可分性是。特别地，其中有一些序列，如。这意味着由于…的定义。此外，我们还可以根据收敛于某的子序列的紧性选择子序列。然后，通过的连续性，

，序列收敛于。因此，再次利用的连续性，我们得到

这就完成了证明。

摘要
1 简介及主要结果
2 定理的定域版 ink" data-track="click">1.1
3.示例:黎曼流形的子集
4 随机过程序列的紧性
5 banach值随机过程的中心极限定理
6 证明
数据可用性
笔记
参考文献
致谢

作者信息
道德声明

附录A:均匀密封性标准


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设一个紧化度量空间，设一个巴拿赫空间。我们用从到的所有连续映射的空间来表示。它将被赋予超范数w.r.t和诱导的Borel -代数。

考虑任意概率空间中bochner可积Borel随机元素的i.i.d序列。我们想研究由Borel随机元素组成的序列的弱收敛性

式中为的bochner积分。我们从以下观察开始。

让它平方可积。

(i)下列陈述是等同的:

a)序列均匀紧密;

b)序列弱收敛于中的某个有中心的高斯随机元。

(ii)如果满足第(i)部分的等价陈述，则b)中的极限律是严格的。

我们注意到，由于波兰空间中的每个Borel概率测度都是紧的，命题5.1中的陈述(ii)只有在(等价地，)不可分离时才有消息。

由于Borel随机元素是Bochner可积的，所以它几乎肯定是可分离的。然后，我们可以找到这样的闭可分线性子空间(注意它本身是一个波兰空间和)。它是这样的。所有人都是如此。考虑到组合引理，这就得出，定律的每一个弱极限点都集中于(特别是，是紧的)，从而建立了第(ii)部分。此外，第(i)部分的含义现在可以从Prokhorov定理中推导出来，由于所有测度都集中在波兰空间上，因此适用于该定理。

我们转到第(1)部分的含义。根据Prokhorov定理，一致紧序列是相对弱序紧的。还需要证明极限点的唯一性及其高斯性。为此，设和为连续线性泛函。经典的多元中心极限定理适用于序列，因为

(表示的算子范数)并产生弱收敛到的中心高斯定律。将，定律的每一个弱极限点识别为高斯测度，并唯一地确定连续线性泛函生成的-代数上的每一个弱极限点。注意，和包含可以是严格的(当是不可分的)。然而，对这两个代数的限制是一致的:

(见[24，定理I.2.1])。回顾每一个弱极限点集中完成证明。

对于命题5.1的应用，我们可以利用我们在命题4.1中的准则，得到如下结果。

设常数满足条件(1)，且是平方可积的。假设存在一个密集子集，使得

（12）

存在的同时也存在着

（13）

然后，序列弱收敛到中的紧中心高斯随机元。

我们要讨论推论5.2对于Banach空间的特殊选择的要求。让我们从2型巴拿赫空间开始。回想一下，如果存在一个常数，使得对于所有的和值独立中心Borel随机元素都是平方可积的，那么巴拿赫空间被称为2 -巴拿赫空间，我们有以下不等式

(参见[11，定理2.1])。2 - Banach空间的典型例子如下:

• 是一个有限维的向量空间，

• 是某有限测度空间上的-空间，范数为(参见[18,Section 9.2])。

如果是2-Banach型空间，则条件(12)和式(13)可简化为:

设为2-Banach型空间，满足条件(1)且具有常数，且是平方可积的。然后，它成立:

1. （1)

   序列总是满足条件(12)，即使有。

2. (2）

   序列满足条件(13)，只要存在，且满足

   (14)

特别地，在(14)下，序列弱收敛于中的紧中心高斯随机元。

值得注意的是，即使在可分离的情况下，我们也不能从2型- Banach空间的一般中心极限定理中得到这个结果(参见，例如，[18，定理10.5])，因为在命题5.3中，只有空间不具有2型。

考虑连续线性算子定义为。然后由中Borel随机元素的bochner -可积性，我们可以得出的Borel随机元素是bochner -可积的。特别是，它几乎肯定是可分离的。因此，Borel随机元素几乎肯定也是可分离值。这意味着它集中在的某个可分离闭子集上。由于的完备性，这意味着是的Radon Borel随机元素(见[24，第29页，推论])。现在，表述1)是由2-Banach空间的一般中心极限定理(参见[11，定理3.6]或[18，定理10.5])以及Radon测度的Prokhorov定理版本(参见，例如，[24，定理I.3.6])推导出来的。

关于表述2)，由上述2- banach空间的定义，我们可以找到一些常数，使得

我们现在观察到

在最后一步中我们使用Jensen不等式。这就完成了证明。

让我们转向共型2-巴拿赫空间。巴拿赫空间被称为协型2-巴拿赫空间如果存在一个常数使得，对于所有的和值独立中心Borel随机元素都是平方可积的，我们有下面的不等式

(参见[5])。为了进一步的准备，让我们还回忆一下，如果有一个有中心的紧高斯随机元素G在其中，则称为预高斯随机元素W

上的每一对连续线性形式都成立。

如果是cotype 2-Banach空间，我们可以得到性质(12)的如下判据。

设为一个协型2-Banach空间，满足条件(1)且具有常数，且是平方可积的。假设存在一个密集子集，使得

那么，序列满足性质(12)(用这个)。

首先要注意的是，对于每一个都有一个紧密的Borel随机元素(参见命题5.3的证明)。现在，命题5.4的主张是由共型2-Banach空间的一般中心极限定理(参见[5，定理4.1]或[18，定理10.7])以及Radon测度的Prokhorov定理版本(参见，例如，[24，定理I.3.6])推导出来的。

作为一个突出的例子，设为有限测度空间上的-空间，范数为。然后，它是一个共型2-Banach空间(见[3,p. 188])。并且，对于任意，紧Borel随机元是预高斯的当且仅当对于任意连续线性形式L是平方可积的，且

(参见[13，定理11])。

让我们重新使用第1节的一般假设和符号。我们证明的关键之一是下面的辅助技术结果，它扩展了[23]中的引理B.2.7。对于有限集合B，我们将使用符号来表示它的基数。

设为的非空有限子集，并且设为。然后，因为存在一些令人满意的

(15) (16) (17)

根据文献[23]中引理B.2.7的证明，我们可以找到一个满足下列性质的子集序列、一个序列in以及一个序列in

• 和。

• 如果。

• 如果。

• 如果。

我们将证明这个集合

是按要求的。

首先

使U满足(15)。

其次，让。然后用一些用。这意味着因为。因此，(16)对于U是成立的。因此，仍然需要证明(17)对于U是有效的。

随它去吧。通过构造，而nor既不属于for。所以我们可以选择。然后，或者，不失一般性。这意味着……也

因此，，

这显示了(17)并完成了证明。

在第一步中，我们要指出我们将用于证明引理1.3的中心链论证。

假设至少有两个元素是有限的。设它是这样的最大元素，然后设

那么，、和下列语句都是有效的。

1. （1)

   存在一类满足的子集

   (18) (19)
2. (2）

   语句1)中的族可以与满足以下属性的映射族相关联:

   (21) (22) (23) (24)
3. （3)

   链式不等式

   （25)

   是满意的。

4. （4）

   在定理1.1的假设(1)和(3)下，不等式

   （26）

   对每一个都成立。此外,

   (27)

   对。

表述(1)直接由覆盖数的定义得出。此外，通过构造，我们有

(28)

那么，表述2)的证明可以在[23，第608f页]中找到。鉴于(20)，表述3)可以很容易地与三角不等式一起用逆向归纳法验证。所以仍然是表述4，让。通过链接不等式(25)，我们有

这是由闵可夫斯基不等式所暗示的

(29)

接下来，设置缩写

然后，根据(3)、(22)和(23)，我们得到

到(29)，我们得到

这是表述4的(26)。对于证明的其余部分，我们额外假设性质(1)满足常数。然后，我们有

注意，这适用于每一个由于选择。现在，(27)可以很容易地通过几何求和公式的常规计算得到。证明到此结束。

如果，那么

在这种情况下，引理1.3的陈述是微不足道的。从现在开始，让我们假设。另外，令为其中最大的元素，令

如引理6.2所示，我们可以找到映射的子集族和映射的族。

如果，那么如此

鉴于(21)和(27)

此外，通过选择我们有这样的常规计算产生

这是引理1.3的例子。接下来，让我们假设这是有效的，并让我们选择

我们有。通过选择，我们获得

此外，我们还可以进一步观察

然后，调用(24)，我们得到

因此,

（30）

此外，通过(18)我们可以观察到

因此，我们可以将引理6.1应用于和，选择和。因此，我们可以找到一些满足条件(15)、(16)和(17)。(30)与(17)的组合产量

如此......以至于......

因此,

（31)

如果，则为由于(20)。因此,

(32)

让我们假设一下。然后调用性质(1)和假设(3)，我们可以从引理6.2，(27)得出结论。

(33)

我们也有这样不等式是有效的。因此，根据(33)，通过简单的计算，我们得到

(34)

此外，依次应用(3)、(16)、(15)和(18)，我们可以观察到

通过和的选择，我们得到了它。否则，我们得到由于的定义。此外，。因此,

的选择意味着

因此,

(35)

把式(31)、式(32)、式(34)、式(35)放在一起，我们就可以很容易地推出引理1.3。证据是完整的。

令(1)满足常数，令不等式(3)满足常数。此外，让我们修复。首先，我们要证明的不等式(4)的有限子集。

存在一个有限常数，它依赖于C, t, M, p, q，并且只满足，对于任何至少有两个元素的有限子集，它成立

并且，可以选择线性依赖于M:。

设有至少两个元素的任意有限子集。设为，并将集合J定义为由所有with组成。请注意。然后,

（36）

对于，引理1.3的应用得到

（37)

在哪里

此外，该集合是非空的，因此我们可以选择它的最小值。鉴于(1)，这意味着

因此，我们可以通过。给出不平等的更高估计(37)

然后,

(38)

坚持与。接下来,设置

我们可以观察到

因此,

(39)

此外，我们有选择

这意味着它对。然后，应用(37)产生

(40)

因为，我们得到了这个

（41)

将式(36)、式(38)、式(40)与式(39)、式(41)结合，得到

这就产生了命题6.3的第一个主张。第二个主张是(39)和(41)中表达式的直接结果。

我们先解决任何问题。让我们根据命题6.3来选择这个常数，并且让我们考虑其中至少包含两个元素的任何至多可数的子集。我们可以选择具有至少两个元素满足的非空有限子集序列

然后,

单调收敛定理和命题6.3

(42)

这表明(4)由于命题6.3的第二个陈述。

对于证明的其余部分，让我们假设它是完备的，并且设它是稠密的某个至多可数的子集。作为(42)的进一步结果，我们有，其中

这意味着在A上随机过程有H?lder-continuous条有序路径。由的完备性，我们可以通过定义一个新的随机过程

这里是任意的。显然，这个过程有H?lder-continuous顺序路径。更进一步，可以用标准论证来证明这个随机过程满足(2)。我们现在证明它是。为了达到这个目的，让我们固定任意，并让它是一个收敛到wrt的序列。通过构造，我们可以援引不等式(3)得出结论

特别地，一方面序列在概率上收敛于0。另一方面，由的定义，序列在概率上收敛于0。然后,如果

因此,

因此，即是的修饰。

最后，考虑一个递增的序列，如。上面的论证表明，对于任何，过程都有一个具有H?lder-continuous有序路径并满足(2)的修改。让我们暂时固定一个任意的。过程和是不可区分的，因为它们是彼此的修改，都是连续的，并且是可分离的(作为一个完全有界的度量空间)。因此，我们可以找到这样一个事件，它对所有人都成立。然后定义集合

注意到And，对于所有的And，它都成立

因此，过程定义为

其中是任意的，是一种修改，使得它的所有路径都是H?lder-continuous的所有阶。注意，它也满足(2)。这就是证明的结论。

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